正态分布 [我的学习笔记]

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====== 正态分布 ======
正态分布（Normal distribution）又名[[高斯分布]]（Gaussian distribution），是一个极其常见的连续概率分布。“正态”即“正常的状态”，本意是说如果在观察或试验中不出现重大的失误，则结果应遵循这种模式的分布。因为正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

正态分布在日常生活中频繁出现。例如，一个国家或地区全部人口的身高、体重情况都很好地符合正态分布。实际上，很多由一连串随机事件构成的变量都会呈现出正态分布的形态，例如在连续生产中用于向标准容器中灌1加仑液体的机器每次的灌装误差。同样的逻辑，如果投资者对收益的期望是理性预期，那么实际收益率应该是服从以此期望为均值的正态分布。

一个正态分布的形态由其均值和[[标准差]]这两个参数来决定。

如果收益率的分布可以用正态分布来近似拟合的话，投资管理将变得更加有理有据。第一，正态分布是左右对称的，也就是说，均值左右程度一样的偏离其发生的概率也一样。没有对称性的话，用收益的标准差来衡量风险显然是不合适的。第二，正态分布具有稳定性，意味着对于具有正态性的不同资产，其构成组合的收益同样服从正态分布。第三，当资产或[[资产组合]]收益分布只有两个变量时，对其未来的情境分析因为需要考虑的变量很少而会变得简单许多。第四，当构造证券组合时，我们必须考虑证券收益的相关性。总体来说，这种相关性是多层面的。但是如果收益是正态分布，收益之间统计相关性可以以相关系数来表达。这样我们在描述任何两个证券的相关性时只需估计一个参数。

实际的收益分布需要与正态分布相似到什么程度时我们才可以使用正态分布代替收益的实际分布呢？显而易见，收益的分布是无法用正态分布完美代替的。比如，与正态分布不同的是，实际收益率并不会低于-100%，但这并不是说正态分布就一无是处。在其他环境中类似的问题同样存在。比如，一个新生儿的体重会去跟所有新生儿体重的分布做对比，而显然新生儿的体重并不存在零或负值。但是在这种情况下，仍然使用正态分布来表示新生儿群体的体重分布情况，因为体重的标准差和体重的均值相比起来较小，问题中出现负值的概率基本可以忽略不计。所以，类似地，我们必须给出一定的标准来决定收益率的正态假设的合理性。